Remote Pulmonary Function Testing using a Depth Sensor

How they compute the volume?

该方法的核心思想是：不计算胸廓的绝对体积，而是计算一个“近似体积”的变化。这个近似体积是由胸廓表面、一个预设的参考平面以及连接它们的侧向表面所包围的空间。通过追踪这个空间体积随时间的变化（Vt），就可以得到体积-时间曲线，从而进行肺功能分析。

该方法基于一个关键假设：在PFT过程中，身体的整体移动是最小的，可以忽略不计。

1. 理论基础：散度定理（高斯定理）

这是整个方法的数学核心。散度定理的公式如下：

$$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV = \oiint_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) dS$$

• V: 一个封闭的固体区域（这里就是要计算的体积）。
• S: 包围体积 V 的封闭曲面。
• F: 一个连续可微的向量场。
• n: 曲面 S 上向外的单位法向量。

论文巧妙地利用了这个定理将体积分转换成了更容易计算的曲面积分。

2. 如何选择向量场 F？

目标是计算体积 $V = \iiint_V dV$。为了让散度定理的左边变成这个形式，需要令 $(\nabla \cdot \mathbf{F}) = 1$。满足这个条件的向量场有很多种选择，但论文选择了一个能极大简化计算的：

$$\mathbf{F} = z\mathbf{\hat{k}}$$

其中 $\mathbf{\hat{k}}$ 是 z 方向的单位向量。这个选择是整个方法简化的关键。可以验证，它的散度确实为1：$\nabla \cdot (z\mathbf{\hat{k}}) = 0 + 0 + \frac{\partial z}{\partial z} = 1$。

3. 坐标系设置

为了进一步简化计算，论文对坐标系进行了设置：

1. 将参考平面放置在 xy-plane 上（即 z=0 平面）。
2. 胸廓表面的位移主要发生在 z轴 方向。

这个设置与选择的 $\mathbf{F} = z\mathbf{\hat{k}}$ 完美契合。

4. 曲面积分的分解

整个封闭曲面 S 被分为三部分：

1. S_ch: 胸廓表面（主要的活动部分）。
2. S_r: 参考平面（z=0 的固定平面）。
3. S_l: 连接胸廓和参考平面的侧向表面。

因此，总积分为：

$$V_t = \oiint_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) dS = \iint_{S_{ch}} (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{ch}) dS_{ch} + \iint_{S_{l}} (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{l}) dS_{l} + \iint_{S_{r}} (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{r}) dS_{r}$$

由于巧妙的设置，后两项积分的结果为零：

• 在侧向表面 S_l 上：法向量 $\mathbf{n}_l$ 是水平的，而 $\mathbf{F} = z\mathbf{\hat{k}}$ 是垂直的。它们的点积 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_l = 0$，所以整个侧面积分为零。
• 在参考平面 S_r 上：法向量是向下的，即 $\mathbf{n}_r = -\mathbf{\hat{k}}$。同时，在参考平面上 z = 0，所以 $\mathbf{F} = 0 \cdot \mathbf{\hat{k}} = \mathbf{0}$。点积 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_r = 0$，所以参考平面的积分也为零。

因此，复杂的体积计算最终简化为只需要计算胸廓表面 S_ch 上的积分：

$$V_t = \iint_{S_{ch}} (z\mathbf{\hat{k}} \cdot \mathbf{n}_{ch}) dS_{ch}$$

5. 离散化计算：从积分到求和

在实际应用中，胸廓表面是由深度图重建出的三角网格（通过三角化实现）。因此，连续的曲面积分可以转化为对所有三角形面片 ST_i 的积分之和：

$$V_t = \sum_{i=1}^{N_t} \iint_{ST_i} (z\mathbf{\hat{k}} \cdot \mathbf{n}_{T_i}) dS_{T_i}$$

其中 N_t 是三角形总数，n_{T_i} 是第 i 个三角形的法向量。

论文通过参数化表示，最终将每个三角形对体积的贡献推导为一个简洁的公式。对于一个顶点为 p0, p1, p2 的三角形，其贡献的体积为：

$$V_{triangle} = \frac{1}{6} (z_0 + z_1 + z_2) \times \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}$$

这个行列式的几何意义是：三角形面片在 xy-plane 上的投影面积的两倍。 因此，整个体积就是所有三角形的平均高度（(z0+z1+z2)/3）乘以它们的投影面积（|determinant|/2）的求和。